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猎鹰 发布于2017-02-04 04:01
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【轨道力学科普】3.奥伯特效应和弹弓效应

楼层直达
奥伯特效应(Oberth Effect):
中国有一句古话叫“闷~~”,不对是“四两拨千斤”,奥伯特效应便是四两拨千斤的典型。
对于大部分人来说都知道牛顿第二定律,不过很多人都只熟悉左边的公式,而在火箭方面更多人则会接触右边的公式,公式的左边是冲量,右边是动量。

图片:屏幕快照 2017-02-04 02.16.45.png


稍有常识的人的都看得出,冲量是速度的一次方,而在动能是速度的二次方。

图片:屏幕快照 2017-02-04 02.18.01.png


也就是说在提升相同速度的情况下,初始速度越快获得的能量也就越多。

图片:屏幕快照 2017-02-04 02.19.10.png


这个看起来似乎违背了能量守恒定律,实际上这是我们在计算能量是忽略了排气的动能造成的。
eg:一个火箭相对于地面静止,火箭的质量与排气质量相同,排气速度为2v。
我们可以算出二者的动能。

图片:屏幕快照 2017-02-04 02.29.18.png


将这只和便是火箭发动机放出的总能量

图片:屏幕快照 2017-02-04 02.29.58.png



假如火箭在相对地面以v的速度飞行,此时火箭的动能。

图片:屏幕快照 2017-02-04 02.31.21.png


此时排气速度相对于地面为0,所以动能为零。

这是最开始火箭与之后会变成排气的推进剂初始动能只和。

图片:屏幕快照 2017-02-04 02.31.36.png


相减便得到了火箭发动机释放的能量,由此看得出二者是相同的。

图片:屏幕快照 2017-02-04 02.29.58.png


综上所述,奥伯特效应实际上就是让排气残余的能量更小,这样使得分配在火箭上的能量更多。

霍曼转移中奥伯特效应的应用

图片:屏幕快照 2017-02-04 02.49.59.png


在霍曼转移轨道中有一个高度极低的最低点,这个点的速度是坠大的。在这个点加速就可以使得用最小的能量飞到所需的高度。

现在我们可以做一个简单的计算,在同步转移轨道(一个周期为一天的椭圆形轨道)的最低和最高点分别加速,使其最高点达到无穷远(其实就是逃逸)。
最低点: 200km,10.2km/s
最高点:36000km,1.59km/s

最低点逃逸的速度:11.0km/s    dv:0.8km/s
最高点逃逸的速度:4.32km/s    dv:2.73km/s
由此看来在最低点加速的这个效率啊!不知道高到哪里去了。

弹弓效应(Slingshot Effect):
      中国还有一句古话“借力打力”,这种打法在武术家眼里面是坠吼的,弹弓效应也算是借力打力的典型。
      假设你是一个静止的观测者,那么你就会看到:行星以速度U向左运动,飞行器以速度v向右运动。由于两者的运动方向相反,所以当飞行器运行至行星右侧时,其轨道就会发生弯曲,进而以U+v的相对速度(相对于行星表面)运行。当飞行器脱离环行星轨道时,其相对于行星表面的速度仍然为U+v,但是此时的运动方向与原来相反——即向左运动。而由于行星本身正以速度U向左运动,所以在观测者看来,飞行器正以2U+v的速度向左运行——其速度提升幅度为2U,即行星运行速度的两倍。

图片:屏幕快照 2017-02-04 02.59.21.png


从不同的位置进入可以实现加速与减速。

图片:屏幕快照 2017-02-04 02.12.02.png


看似这个能量是无中生有的,其实是通过改变了行星公转速度获得的能量,只不过相比之下行星的质量极大,这点速度损失忽略不计。

角度改变量的计算:
首先是轨道方程的求解,当然这个公式的推导过程较为复杂,想知道的可以参考肖士珣的《理论力学简明教程》P82

图片:屏幕快照 2017-02-04 04.22.27.png


E:进入星球的动能(也就是相对于行星的能量减去从无限远处进入的重力势能)
e:圆锥曲线的离心率
L:角动量
M:中心天体质量
G:万有引力参数
m:飞行器质量
R:飞行器与中心天体的距离
theta:速度与中心天体飞行器之前连线的夹角

        通过上面的公式我们不难发现,当速度低于逃逸速度时是一条椭圆或圆(其实低于环绕速度也是一个椭圆,不过最低点在地下而已,其实我们所谓的抛体运动也是这样的椭圆,只不过速度较慢时(可以不考虑离心力)十分接近抛物线而已)。当速度达到逃逸速度时是一条抛物线。如果速度超过了逃逸速度那么这条曲线就是双曲线。双曲线有一个特点便是有两条渐近线,而这两条渐近线之间的夹角就是引力使轨道偏移的角度。

图片:屏幕快照 2017-02-04 05.27.52.png



如何计算进入另一个天体时的参数呢?
这种情况下属于三体模型,计算难度极大,不过我用这种方法也能算出大致量,而且差距也不算太大。

图片:屏幕快照 2017-02-04 05.10.24.png


其中theta就是进入另一个星体的角度。
计算的方法其实有很多种,数学大神可以直接求出两个圆锥曲线交汇点的切线方程,然后求解角度。不过很惭愧,我是数学水平还too simple。所以我用了另外一种办法求解,相比之下简单了许多。
首先我们可以通过能量守恒定律得出到达交汇点时的速度。

图片:屏幕快照 2017-02-04 05.11.18.png


然后利用角动量守恒求出其角动量。然后利用角动量的矢量性便可求出其夹角的正弦(矢量的乘法有点和叉两种,点乘算出来是标量乘以余弦,叉乘算出来是矢量乘以正弦)

图片:屏幕快照 2017-02-04 05.11.27.png



进入另一个天体时的速度计算:
v是轨道速度,v2是行星的公转速度

图片:屏幕快照 2017-02-04 05.32.02.png



做一个速度分解,然后切换参考系,x轴和y轴的速度叠加之后才是真正的相对于天体的速度。

图片:屏幕快照 2017-02-04 05.33.10.png



最后附赠一个计算工具:离心率计算.exe.zip
评分1条评分,MT币+30
  • 老爱粉+30MT币2017-02-04 11:11

    有合理的推导过程,语言詳实,好文。

    老爱粉
长空又放核红云, 怒吼挥拳显巨身。 横眉南天震虎口, 寄心北海跃龙门。 敢同恶鬼争高下, 不向狂魔让寸分。 先烈回眸应笑慰, 擎旗已有后来人
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