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高级数学与物理学者
老爱粉 发布于2017-04-08 16:39
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【复变函数】如果函数式里有了复数

楼层直达
导言:        在现实生活中,处处存在着各种各样的逻辑关系,比如,菜价x斤数=银子数,速度x时间=路程等等,这些关系如果被量化,大多数都是实数范围的,比如f(x)=2x+1.但是,同样存在着这样一些关系,他们在实数范围内表达出来是复杂的。或者,用这些关系构成一些方程,可能根本是不可解的,比如一个被广为流传的方程x^2+1=0,为了解决这些问题,复数被引入了人们的视线。

关于复数:
复数的文字资料最早出现在公元一世纪的希腊数学家海伦,但是直到18世纪末,复数才渐渐被人们所接受。在这之前,莱布尼兹在1702年曾经评价说虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界中的两栖物。这句话在一定程度上说明了“虚数”曾经给数学界带来的困惑,在现今的数学理论中,复数已然成为数论中的不可或缺的一部分。

复数是什么?
引入复数的必要性最初是从解方程开始的,在实数范围内,我们经常会碰到方程无解的情况,在这种情况下,我们的先辈们引入了复数的概念。复数的定义是i^2=-1,这是。一个很棒的定义,至少这令我们的一元二次方程始终有解了。
      举个例子:x^2=-1,其解为x=ix=-i。让我们来验证一下: x^2 = (-i)^2=i^2=-1成立。
      在时代的驱动下,复数就此诞生,复数的完整表达是z = a+bi,它是由一个有序二元实数对确定的一个数,为了真正的使用复数,我们必须对这种东西进行进一步的定义,由于复数的本质还是一种数,且是对实数的扩充,那么,我们不妨就借鉴于实数来定义它,从而,我们定义了复数的加法和乘法。
      此处简化书写,由于复数只由一个有序二元实数对唯一确定,我们不妨记
      z1 = (a, b), z2 =
(c, d)
,其中(0, 1)= i
      定义:z1 + z2 = (a + c, b + d)
               z1 x z2 = (ac - bd, ad + bc)
      为什么这么定义?
             对于复数来说,如果我们将其当做一种完善的数来看待,那么,这种数的运算应当是封闭的,就像你不会希望你家养的鸡下出来的是鸭蛋一样。这种定义能够保证复数的运算不会使复数生出来意料之外的孩子。
             其实,如果只将i看做一个字母,只不过这个字母被加上了平方结果为负一这一条性质。那么,这两条性质可以被很轻松的理解
             z1 + z2 =
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
             z1 + z2 =
(a + bi) x (c + di) = (ac + bdi^2) + (adi + bci) = (ac – bd) + (ad + bc)i
      当然了,你可能发现了,如果(b + d) = 0 或者 (ad + bc) = 0,这个数不就变成了实数而不是复数?这样还符合复数不就是不封闭了?
      所以,大数学家们为了处理这种问题,添加了一个实数域到复数域的一个映射f(a) = (a, 0),这个映射保持了实数域的加法和乘法,
      比如:f(a + b) = (a + b), 0), (a, 0) + (b, 0) = (a +
b,0)
f(ac) = (ac, 0),
(a, 0) x(c, 0) = (ac, 0)
      是不是没毛病呢?
      同样,我们可以解释i^2 = -1 这一事实,(0, 1) x (0, 1) = (-1, 0) =-1
事实上,我们可以证明,复数的全体(包括实数)构成复数域,而实数域是复数域的一个子域
      那么,我们继续前进咯~~~~

对z = a + bi 的简单解释:
在复数(complex number)对应的有序二元实数对(a,
b)中,实数a被称为复数z的实部(real part),记为Rez = a,实数b被称为复数z的虚部(imaginary
part), 记为 Imz = b.
      当a = 0 且 b !=
0 时, z = bi,我们将这一类虚数称为纯虚数。
      当a != 0 且 b =
0 时, z = a,虚数退化为实数。
      对于一个复数z=a+bi,

图片:共轨复数.jpg

=a-bi称为它的共轨复数,可以发现,z

图片:共轨复数.jpg

=a^2+b^2
      复数的集合用C表示,实数集合用R表示,则RC的真子集
      我们可以再考虑一件事情,复数既然是一种数,那么根据我们对实数等的理解,数应该是可以比较大小的啊,可是,这复数是用一个实数对表示的,我们虽然可以比较出任意一个实数与另一个实数的大小,可是这两个数作为一个整体该认为谁更大呢?这是一件让人纠结的事情,事实上,复数是不存在一般意义上的数的相对大小的。我们也不必要纠结于没法比较大小这件事,因为我们有类似的替代品。
复数的模:
将实数的实部与虚部的平方的正平方根的值称为该复数的模,记为|z|
即对于复数z = a + bi,它的模

图片:复数的模.jpg

       为什么这样定义?复数是没办法直接比较大小的,要实现类似于比较大小的功能,我们就要想办法将这两个实数并在一起,这是我们的目标,然而,为什么要取这个公式呢?可以联系平面直角坐标系上的距离定义,这里的模也就是复数在复平面上到原点的距离。
复平面是什么?
我们知道,复数可以用一个有序二元实数对(a, b)表示,那么,我们或许可以在一个平面上刻画出这个复数所对应的点。事实上也确实定义了这样的一个平面称为复平面xOy,这个平面上x轴为实轴,y轴为虚轴,我们可以看见,x轴上是实数,y轴上(除原点)是纯虚数。当然,还可以刻画相应在相应的极坐标平面上
例:分别在直角坐标下和极坐标下表示复函数 y = t + itsin(t)

图片:直角坐标和极坐标画图.jpg




咣当咣当咣当咣当……x10000,极坐标表示是什么鬼?

为什么可以表示为极坐标?
      极坐标的表示方式就是“距离加角度”,在复数中,距离的问题可以解决(复数的模),那么我们要解决的问题就在于复数的角度。何一个实函数可以在直角坐标下表示成点的集合,表示是从xy的一种特殊映射,同样的含有复数的函数也可以,任意在复平面(直角坐标形式)上取一点,这一点到原点的连线与实轴的正方向构成一个角

图片:c塔.jpg

,这个角

图片:c塔.jpg

称为复数的辐角,记为Arg(z),如果你比较细心,可能发现这个角不是一个定值,因为

图片:c塔与2kpi.jpg

,故,我们将做一个约定对于

图片:c塔.jpg

,如果

图片:c塔范围.jpg

,那么将这个角度值称为辐角主值,记为arg(z),注意,在这里a为小写。




复数的辐角:
   复数的辐角的意义绝不仅仅在于让我们能够在复平面中表示复数值,它还可以用于来改变复数的表示方式,事实上,辐角的引入让我们复数有了另外两种表示方法。
      表示方法一(三角函数法):

图片:辐角01.jpg

这种方式下,

图片:辐角02.jpg

即为该复数在极坐标复平面中的坐标,其中

图片:辐角03.jpg

      表示方法二(指数形式):

图片:辐角04.jpg

,这个公式看起来比较奇怪,这个公式看起来前后没有任何联系,容易让人表示不敢相信,但是,实际情况是,这两个公式确实是等价的,具体证明可以参考     欧拉公式的证明
那么,直到现在,我们算是把复数是什么搞清楚了???但是,复数到底有什么用呢?O(_)O哈哈~,还早着呢,让我们想想,我们忘掉了一点什么?
      我们在上面曾提到过,复数是一种数,而且包含实数,那么,实数的那些性质在复数中到底是不是一样一样的呢?在上面的讨论中,我们只涉及到了复数的加法和乘法,那么,复数的减法,除法呢?复数的乘幂和方根呢?
复数的运算性质:
加法法则:减法和加法类似,因此有复数的加法法则:

图片:运算性质01.jpg

     乘法法则:

图片:运算性质02.jpg


     除法法则:分母有理化,在分母上乘上分母的共轨复数实现分母的有理化

图片:运算性质03.jpg


     乘方法则(棣莫佛定理):对于复数

图片:运算性质04.jpg

,可以很快得到zn次幂

图片:运算性质10.jpg


     特别的:对于i

图片:运算性质06.jpg


     开方法则:对于复数

图片:运算性质07.jpg

,可以得到

图片:运算性质08.jpg


注意:如果

图片:运算性质09.jpg

则与前面的n的结果重复


(复数基础介绍完毕哒~~~~)
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罗恩格林 发布于2017-04-09 03:58
沙发F
复数在信号处理里极为重要
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varpro 发布于2017-05-11 17:08
板凳F
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