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第 34卷
2008 拄
第 3期
3月
高 电 压 技 术
H ighVoltage Engineering
Vo1．34 NO．3
M ar． 2008
同步感应线 圈炮 内磁场及涡流场 的有限元分析
赵科 义 ～，李治源 ，程树康 ，吕庆敖
(1．哈 尔滨工 业大 学，哈 尔滨 150001；2．军械 工程 学院 ，石 家庄 050003)
摘 要 ：为 了研 究 感 应线 圈 炮 内磁 场 及 涡 流场 的分 布 ，根 据 单 级 实 心 电 枢 同 步感 应 线 圈炮 的结 构 模 型 ，基 于 矢 量
磁位和标量 电位相结合 的方法建立了其导体 区域涡流场的数学模 型。对套箍和炮管非导体 区域 、气隙 区域分别采
用矢量磁位 、标量磁位来描述磁场。在 电枢 区域涡流场 的控制方 程中，考虑 了电枢运 动效应 和位．移 电流效应的影
响 ；在驱动线圈区域涡流场的控制方程 中，考虑 了位移电流效应的影响 。采用 Ansoft有 限元 分析软件对单级实心
电枢同步感应线圈炮内的涡流场分布情况进行 了仿真研究。仿 真结果表 明；单级实心 电枢同步感应线圈炮 内的磁
场 在 电枢 尾 部 发 生 明 显 畸变 ，电 枢 内 的涡 流 主 要 分 布 在 电枢 的 外 表 面 和 尾 部 ，其 方 向 与 驱 动 电 流．的 方 向相 反 。这
些工作体现了单级实心电枢 同步感应线圈炮实 际工作过 程中磁场 、涡流场 以及能量损耗 的分布规律 ，为感应线 圈
炮 的 优 化 设计 提供 了参 考 依 据 。
关 键 词 ：感应 线 圈 炮 ；涡 流场 ；数 学 模 型 ；有 限元 分 析 ；轴 对称 ；仿 真
中 图分 类 号 ：TM303．1 文 献 标 志 码 ：A 文章 编号 ：1003-6520(2008)03-0492—04
FiniteElementAnalysisofM agnetic Field and Eddy Field
in SynchronousInduction Coil-gun
ZHAO Ke—yi’。．LIZhi—yuan ，CHENG Shu—kang ，LU Qing—ao
(1． HarbinInstituteofTechnology，H arbin 150001，China；
2．OrdnanceEngineeringCollege，Shijiazhuang050003，China)
Abstract：InordertOinvestigatethedistributionofmagneticfieldandtheeddyfield intheinduction coil-gun，akind
ofelectromagneticlauncherofwhich the working principleis based on the law ofelectromagnetic induction ，the
mathematicmodelofeddy field in theconductorareaofthe single-stagesolid armaturesynchronousinduction coilgun
isestablishedbasedon thecombinationofthemagneticvectorpotentialand theelectricscalarpotentialaccord—
ingtOthestructuremodelofthesingle-stagesolidarmaturesynchronousinductioncoil—gun．Themagneticfieldsin
thenon-conductorarea(thehoopandthebarre1)andintheairareaaredescribedbythemagneticvectorpotential
andthemagneticscalarpotentialrespectively．Themotioneffectofthearmatureand theeffectofthedisplacement
currentareconsideredin thecontrolequationoftheeddyfieldinthearmature．Theeffectofthedisplacementcur—
rentisconsideredin thecontrolequation oftheeddy field in thedriving-coil．The distribution ofeddyfield in the
single-stagesolidarmaturesynchronousinduction coil—。gun issimulated bythefiniteelementanalysissoftwareAn—-
soft．Thesimulativeresultsshow thatthemagneticfieldnearthetailofthearmaturein thesingle-stagesolidarma—
turesynchronousinductioncoil—gun distortsdramaticallyand thattheeddy in thearmaturemainlydistributesin its
outerinterfaceand itstail． Inaddition，thedirectionoftheeddyin thearmature isoppositetO thedirectionofthe
driving—current．Theworkembodiesthedistributionrulesofthemagneticfield，theeddyfieldandtheenergylossin
theworking processoftheinductioncoil—gun，and providereferencecriteriafortheoptim um designoftheinduction
coil-gun．
Keywords：induction coil—gun；eddyfield；mathematicmodel；finiteelementanalysis；axissymmetry；simulation
0 引 言
感 应线 圈炮 是 一种 电磁 发射 器 ，它具 有结 构 简
单 ，设计 灵活 多样 ，电枢 与驱动线 圈之 间不存在 直接
的电接触 等优 点 ，因而 具有 广 阔 的应 用前 景 。上 个
世 纪 90年代 美 国桑地 亚 国家实 验 室 和美 国德 克 萨
斯 大学机 电 中心等 研究单 位对感应 线圈炮 进行 了深
入的研究[1引。
基金资助项 目：国防科研计划基金。
ProjectSupportedbyNationalDefenseScientificResearchPro—
gram Foundation．
为 了分 析和 设计 感 应线 圈炮 ，已提 出 了许 多 数
值模 型 ，如 柱状 电流层模 型[1]、丝 状圆环 电流法 [2以
及 电路 方 法 ]，前 者 适用 于对 异 步感 应 线 圈炮进 行
特性分 析 ，后 两者 多 用 于对 同步 感 应线 圈炮进 行 特
性分 析 。在同步感 应 线 圈炮 的特性 分 析方 面 ，美 国
桑 地 亚 国 家 实 验 室 先 后 开 发 了 WARP一10 和
SLINGSHOT应用 程序编 码 ，德克 萨斯 大 学机 电中
心开 发 了 电磁 有 限 元 编 码 (electromagneticFEM
code，TEXMAP)和 机 械 有 限 元 编 码 (mechanical
FEM code，ABAQUS)。为 了分 析 同轴感 应发射 器
的瞬态电磁／机械特性 ，文E4]提出了混合有限元一
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边界 元计算 方法 ，并 基 于 该 方法 和 不 同 的特 殊 数值
处理 方法 ，开 发 了 电磁 同轴 发 射器 分 析 程 序 (texas
electromagnetic coaxial launcher analysis code，
TExCAL)，仿真 了单级 感 应 发射 器 和五 级 发射 器 。
混合有 限元一边界元 方法 常被用 于静 磁 场分 析_5 和
涡流 问题[7]。文E16]分析 了感应线 圈炮 内电枢 的 受
力 。以上各种 模 型和仿真 程序 中的大 多数是基 于 丝
状 圆环 电流 法和集 总 参 数 电路 法 ，对 感应 线 圈炮 内
磁场 及涡流场 的分 布情 况 研 究 较少 ，而感 应 线 圈炮
的工 作原理 和能量传 递正 是基 于 电枢 内 的涡流与 驱
动线 圈 内磁场 相 互作 用 的 结果 。因此 ，研 究 感 应线
圈炮 内的磁 场及 涡流 场 的分 布 ，对 于 感应 线 圈炮 的
特性 分析与设 计均 具有重 要 的意义 。
本文基 于单级 实心 电枢 同步 感应线 圈炮 的结 构
模型 ，建立 了感应 线 圈炮 导 体 区域 涡 流 场 的数 学 模
型 、非导体 区域及 气 隙区域磁 场 的控 制 方程 ，并 采 用
电磁场有限元分析 软件 Ansoft中 的三维涡流 场仿 真
器仿真 了单级感应线 圈炮 内的磁场及涡流场分布 。
1 结 构及仿 真模型
由于单级 实心 电枢 同步感应 线 圈炮 为轴 对称结
构 ，所 以在建 立其 内部 的 磁 场及 涡 流 场 的数 学 模 型
时 ，采 用 圆柱 坐标 系 较 为 方便 ，而采 用 Ansoft有 限
元分 析软件 对单级感 应线 圈炮 内的磁 场及 涡流场进
行三维仿 真时 ，通 常采 用 直 角 坐标 系 进 行描 述 。 因
此 ，为 了便于说 明问题 ，本 文在 图 1中既给 出了单级
实心 电枢 同步 感应 线 圈炮 的结 构及 仿 真 模 型 ，又 给
出了圆柱坐标 系与 直 角 坐标 系 之 间 的对 应关 系 ，分
别见 图 1(a)、(b)和 (c)。图 1(a)给 出 了单 级感 应线
圈炮在 rz平 面或 z平 面上 的截 面结 构 ，并将 其分
为不 同的 区域 ，其 中区域 Q。、Q 、Q。分别 代 表 驱 动
线圈外 围的套 箍 、驱 动线 圈和炮 管 ，区域 Q 和 Q 分
别代表 电枢 和气隙 。
2 磁 场及涡 流场 的数 学模 型
为 了便 于建立单 级实 心电枢 同步感 应线 圈炮 内
磁 场及 涡流场 的数学 模型 ，现假定 如下 ：
1)假定感 应线 圈炮工作 在准 稳态情 况下 。
2)不考虑 电枢 的横 向偏 移 ，假 定 电枢轴线 中心 、
炮管 中心 以及 驱动线 圈 中心重合 ，满足 轴对称 条件 。
这主要 是 因为 电枢 中心 偏 离 炮 管 和 驱 动 线 圈 中心
时 ，会 改变 电枢与炮 管之 间的气 隙分布 ，从而不 再满
足轴 对称条件 。
3)不考 虑 电枢 在 电磁 力作 用下 的形 变 。
在上 述假 定 条件 下 ，单 级实 心 电枢 同步感 应 线
圈炮 内磁场 及涡流 场的控 制方 程可 由麦 克斯 韦方程
M(r，0，z)
图 1 单 级 实 心 电枢 同步 感 应 线 圈炮 的 结 构及 仿 真 模 型
Fig．1 Structure and sim ulation m odelofthe single-stage
solid arm ature induction coil-gun
导 出。考虑 到 电枢 运 动 效应 和 位 移 电流 效应 ，麦 克
斯 韦方程 变 为
× H = J+ aD／at； (1)
X E 一一 aB／at+ X (_I，× B)； (2)
· B 一 0； (3)
· D — P。 (4)
式 中， 、H、E、D、J、|0和 _I，分别 为感 应线 圈炮 内的磁
感应强度 、磁 场强度 、电场 强度 、电位移矢量 、电流密
度 、电荷 密度 和 电枢 的运动 速度 。方程 (2)右边 的第
2项表 征 了电枢 的 运 动效 应 ，若 所采 用 的 坐标 系 固
定在 电枢上并 与 电枢 一起 运 动 ，则 对 于 电枢 区域 而
言该项为 0。
图 1中 ，导 体 区 域 Q 和 Q 因载 有 电流 而 应 采
用矢量磁 位求 解 ，其 他 区域原 则 上 可采 用 标量 磁 位
求 解 ，但 由于标 量磁 位 在 多连 通 区域 中不 是单 值 函
数 ，所 以需对 多连通 区域进 行处理 。为此 ，将非 导体
区域进 一 步 分 为套 箍 区域 Q。、炮 管 区域 Q。和气 隙
区域 Q ，在 区域 Q 和 仍 采 用矢 量磁 位求 解 ，仅
在区域 Q 采用标量 磁位求 解 。
对 麦 克斯 韦方 程 的求 解 ，通 常还 需结 合 电流 的
连续性 方程 、介 质 的本构方 程 以及 欧姆定律 ，即
· J 一 0； (5)
B 一 ； (6)
D — eE ； (7)
J — aE 。 (8)
’ 式 中， e、 分 别 为 介 质 的磁 导 率 、介 电常 数 、电导
率 。引人矢量磁 位 A(其 中 — XA)后 由式 (2)得 ：
X (E+ j以 一 (_I，X XA))一 0。 (9)
根据 任 一 标量 函数 梯度 的旋 度恒 为 0，所 以对
式(9)引人标量 电位 后 可得 ：
E一一j + (_I，× ×A)一 。 (10)
式 中 ，cc，为磁 场 变 化 的角频 率 。将 式 (6)、(7)、(8)、
(10)及 — ×A 代人式 (1)可 得 ：
x ( xA)= ( + j ￡)(一 j A+( X X A)一 )。
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High Voltage Engineering Vo1．34 No．3
上式 即为感应 线圈炮 内磁 场及 涡 流 场 的控 制方 程 。
由上式 可见 ，电导率为 复 电导率 ，可表示 为 仃 — +
j雠 。一 为 源 电流 密度 ，一j 为 由磁 场 变 化
而在导 体 区域 引起 的涡流密度 ，(v× ×A)为 由电
枢运动 而在导体 区域 引起 的涡 流密度 ，j e(-j +
(vx ×A)一 )可理解 为位移 电流密 度 。
由于不存在 源 电流 密度 ，所 以 电枢 区域 Q 内涡
流场 的控制方 程为
一 × ( XA)一 ( + j e)(- j A + ( × XA))。 (11)
由于 驱动 线 圈 固定 不 动且 其 内部 载有 源 电流 ，
所 以驱 动线圈 区域 Q 内涡流场 的控制方 程为
／1 × ( ×A)一 ( + j ￡)(一 j A— )。 (12)
由于炮 管 和套 箍均 由非导 体 的绝 缘材 料制 成 ，
且无源 电流存 在 、也不 运 动 ，所 以炮 管 区域 Q。和套
箍 区域 Q 内电磁 场 的控 制方程 为
／1一 × ( × A)一 0。 (13)
对 于气 隙区域 Q ，采 用标 量磁 位 ‰ (其 中 H：
一 ‰ )进行 求解 ，则利 用 方 程 (3)和 (6)可导 出 区
域 Q 内磁场 的控制 方程 ：
一 0。 (14)
实 际求解 时 ，由于 控制方程 多为矢 量方程 ，所 以
对这些 方程 的求 解是很 困难 的。但考虑 到感应 线 圈
炮为轴对 称结构 ，若 采 用 图 1(b)的圆 柱坐 标 系 ，并
令线圈炮 的对称 轴与 圆柱 坐标 系 的 轴 重合 ，则 感
应线圈炮 中电流密度和矢 量磁 位仅有沿 圆周方 向上
的分量 ，因此可 根据轴对 称结构 的特点 对方程 (11)、
(12)、(13)进行 简 化 。若 已知某 一 位置 时 刻 电枢 的
速度 ，则 可根据 以上 各 区域 中磁 场 或 涡流 场 的 控制
方程 ，求 出该位置 时刻 矢 量磁 位 圆周方 向上 的分 量
A ，进而求 出感应线 圈炮 内的磁感 应强度
B 一 (一 r+ z)。 (15)
r d Z (，r
由方程 (15)可知 ，感应 线 圈炮 内 的磁场 只有径 向分
量和轴 向分 量 。根 据方程 (8)可求 出导 体区域 。特别
是 电枢 区域 内 的涡流分布 。
3 磁场 及涡流场 的有 限元分析
由于单级 实心 电枢 同步感应线 圈炮 为轴对 称结
构 ，所 以在其 仿真模 型 即图 1(a)中仅 给 出 了仿 真 模
型在 半个 z平 面 上 的情 况 。仿 真模 型 中有 关 主 要
顶点 的坐标采 用直 角坐标 表示 。套箍 、驱 动线圈 、炮
管 以及电枢 的左下 角和右上 角 的坐标 分别 为(0，61，
0)、(0，80，80)、(0，63，10)、(0，73，70)、(0，61，10)、
(0，63，70)、(0，52，50)和 (0，60，110)。 由这 些 坐标
关 系可知驱 动线 圈和 电枢 的 长度 为 60mm、驱 动线
圈径 向厚度 为 10mm、电枢 径 向厚 度 为 8mm、电枢
图 2 yz平 面 上 的磁 场 分 布
Fig．2 Distribution ofm agnetic field in yz—plane
，，(M A ·m。1
图 3 电枢 内的 涡 流 分 布
Fig．3 Eddydistribution in thearmature
与炮 管 内壁 之间 的气 隙为 1mm、炮 管壁 厚 为 2mm
等 。在 利用 Ansoft软 件对该模 型仿真 的过 程 中 ，分
别将 套箍 、驱动线 圈 、炮 管和 电枢 的材料 属性设 置为
环 氧一凯夫 拉尔 合成 纤维 、铜 、聚 四氟 乙烯 塑料和 铝 。
电枢 的尾部 端面 在 z=50的平面 上 。仿 真模 型中的
求解 区域为 长方体 ，其 左 下 角 和右 上角 的顶点 坐 标
为 (一160，一160，一100)和 (160，160，240)。驱 动线 圈内的
源 电流设置为量值 型 ，其 总电流的大小为 30kA，相位
角为 0，频 率为 1．5kHz。仿真结果分别见 图 2～5。
图 2为 电枢处 于 z一50的位 置 时 j，z平 面上 的
磁场分 布 ，可 见在 电枢 尾 部 磁场 发 生 明显 畸 变而 弯
曲 ，且未 能扩 散 到 电枢 内部 。这 就 意味 着 电枢 尾 部
要感应 环状 涡流 ，该 涡流 排斥磁通 进入 电枢 内部 。
图 3为 电枢处 于 z：==50的位 置时 电枢 内的涡流
分布 ，可见 电枢 内的涡流 主要集 中在 电枢 尾部 ，从 电
枢尾部 到 电枢 前端 以及从 电枢外 表面到 电枢 内表 面
感生 的涡流均 逐渐 变小 。电枢尾部 因感应 涡流较 大
而将承 受很大 的 电磁 力作用 。为 了保 持 电枢在工 作
过 程 中不发生形 变 ，在 电枢 设 计 时应 加 厚 电枢 尾 部
的径 向厚度或在 电枢 内部设计 内支撑 结构 。
图 4、5分 别为 2—50平 面上驱 动线 圈和 电枢 内
电流密度 矢量 的分 布 。 比较 图 4、5可见 ，电枢 内 的
电流密 度方 向与驱 动线 圈 内 的相 反 ，电枢 内 的电流
8 8 9 O O 1 2 2 3 2 9¨3
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2008年 3月 高 电 压 技 术 第 34卷 第 3期 ·495 ·
，／(MA ·m 1
|
66．196
6O．213
54．231
48．248
42．266
36．283
30．301
24．3l8
18-336
12．353
6．3708
O．38836
图 4 驱 动 线 圈 内的 电 流 密 度
Fig．4 Currentdensity ofdriving-coil
，／(MA ·m。1
386-82
351．83
316-85
281．86
246．88
2l1．90
176．91
141．93
1O6．94
71．960
36．976
I．9917
图 5 电枢 内的 涡流 密 度
Fig．5 Eddy density ofthearm ature
密度 比驱动线 圈 内 的大一 个 数 量级 ，且驱 动 线 圈 内
的 电流 密度与 仿真 时所 加载 的源 电流密 度 (50MA／
ITI)大致 相 当。这说 明 在感 应 线 圈炮 内 ，驱 动 线 圈
内的感 应 电流 可忽 略不计 。
4 结 论
本 文基 于单级 实心 电枢同步 感应线 圈炮 的结 构
模型 ，建 立 了其 相应 的磁场 及涡 流场 的数 学模 型 ，其
突 出的特点在 于 ：① 它 是 基 于矢 量 磁 位和 标 量 电 位
相结合 的方法 建立起 来 的 ；②在 电枢 区域 ，它 考虑 了
电枢 的运动效 应和 位移 电流 效应 的影 响 ；③ 在驱 动
线圈 区域 ，它考 虑 了 位移 电流 效应 的影 响 。这些 特
点真实 地反 映了单级 实心 电枢 同步感应 线 圈炮 的实
际工作 状况 。仿真结 果表 明 ：在该 仿真模 型 中 ，当电
枢处 于 一50的位 置 时 ，该感 应 线 圈炮 内 的磁场 在
电枢尾 部发 生明显 畸 变 ，感应 涡 流 主 要集 中在 电 枢
的尾部 和外 表 面 ，其 方 向 与 驱 动 电 流 的方 向相 反 。
这些仿 真工作 体现 了感应线 圈炮 实际工 作过 程 中磁
场 、涡 流场 以及能量 损耗 的分布 规律 ，为感应 线圈炮
的进一 步优化 设计提 供 了参 考依 据 。
参 考 文 献
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■Ph．D．
赵
Z
科
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收
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稿
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编
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辑
发2究；射E方
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响 ；在驱动线圈区域涡流场的控制方程 中，考虑 了位移电流效应的影响 。采用 Ansoft有 限元 分析软件对单级实心
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场 在 电枢 尾 部 发 生 明 显 畸变 ，电 枢 内 的涡 流 主 要 分 布 在 电枢 的 外 表 面 和 尾 部 ，其 方 向 与 驱 动 电 流．的 方 向相 反 。这
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andthemagneticscalarpotentialrespectively．Themotioneffectofthearmatureand theeffectofthedisplacement
currentareconsideredin thecontrolequationoftheeddyfieldinthearmature．Theeffectofthedisplacementcur—
rentisconsideredin thecontrolequation oftheeddy field in thedriving-coil．The distribution ofeddyfield in the
single-stagesolidarmaturesynchronousinduction coil—。gun issimulated bythefiniteelementanalysissoftwareAn—-
soft．Thesimulativeresultsshow thatthemagneticfieldnearthetailofthearmaturein thesingle-stagesolidarma—
turesynchronousinductioncoil—gun distortsdramaticallyand thattheeddy in thearmaturemainlydistributesin its
outerinterfaceand itstail． Inaddition，thedirectionoftheeddyin thearmature isoppositetO thedirectionofthe
driving—current．Theworkembodiesthedistributionrulesofthemagneticfield，theeddyfieldandtheenergylossin
theworking processoftheinductioncoil—gun，and providereferencecriteriafortheoptim um designoftheinduction
coil-gun．
Keywords：induction coil—gun；eddyfield；mathematicmodel；finiteelementanalysis；axissymmetry；simulation
0 引 言
感 应线 圈炮 是 一种 电磁 发射 器 ，它具 有结 构 简
单 ，设计 灵活 多样 ，电枢 与驱动线 圈之 间不存在 直接
的电接触 等优 点 ，因而 具有 广 阔 的应 用前 景 。上 个
世 纪 90年代 美 国桑地 亚 国家实 验 室 和美 国德 克 萨
斯 大学机 电 中心等 研究单 位对感应 线圈炮 进行 了深
入的研究[1引。
基金资助项 目：国防科研计划基金。
ProjectSupportedbyNationalDefenseScientificResearchPro—
gram Foundation．
为 了分 析和 设计 感 应线 圈炮 ，已提 出 了许 多 数
值模 型 ，如 柱状 电流层模 型[1]、丝 状圆环 电流法 [2以
及 电路 方 法 ]，前 者 适用 于对 异 步感 应 线 圈炮进 行
特性分 析 ，后 两者 多 用 于对 同步 感 应线 圈炮进 行 特
性分 析 。在同步感 应 线 圈炮 的特性 分 析方 面 ，美 国
桑 地 亚 国 家 实 验 室 先 后 开 发 了 WARP一10 和
SLINGSHOT应用 程序编 码 ，德克 萨斯 大 学机 电中
心开 发 了 电磁 有 限 元 编 码 (electromagneticFEM
code，TEXMAP)和 机 械 有 限 元 编 码 (mechanical
FEM code，ABAQUS)。为 了分 析 同轴感 应发射 器
的瞬态电磁／机械特性 ，文E4]提出了混合有限元一
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2008年 3月 高 电 压 技 术 第 34卷 第 3期 ·493 ·
边界 元计算 方法 ，并 基 于 该 方法 和 不 同 的特 殊 数值
处理 方法 ，开 发 了 电磁 同轴 发 射器 分 析 程 序 (texas
electromagnetic coaxial launcher analysis code，
TExCAL)，仿真 了单级 感 应 发射 器 和五 级 发射 器 。
混合有 限元一边界元 方法 常被用 于静 磁 场分 析_5 和
涡流 问题[7]。文E16]分析 了感应线 圈炮 内电枢 的 受
力 。以上各种 模 型和仿真 程序 中的大 多数是基 于 丝
状 圆环 电流 法和集 总 参 数 电路 法 ，对 感应 线 圈炮 内
磁场 及涡流场 的分 布情 况 研 究 较少 ，而感 应 线 圈炮
的工 作原理 和能量传 递正 是基 于 电枢 内 的涡流与 驱
动线 圈 内磁场 相 互作 用 的 结果 。因此 ，研 究 感 应线
圈炮 内的磁 场及 涡流 场 的分 布 ，对 于 感应 线 圈炮 的
特性 分析与设 计均 具有重 要 的意义 。
本文基 于单级 实心 电枢 同步 感应线 圈炮 的结 构
模型 ，建立 了感应 线 圈炮 导 体 区域 涡 流 场 的数 学 模
型 、非导体 区域及 气 隙区域磁 场 的控 制 方程 ，并 采 用
电磁场有限元分析 软件 Ansoft中 的三维涡流 场仿 真
器仿真 了单级感应线 圈炮 内的磁场及涡流场分布 。
1 结 构及仿 真模型
由于单级 实心 电枢 同步感应 线 圈炮 为轴 对称结
构 ，所 以在建 立其 内部 的 磁 场及 涡 流 场 的数 学 模 型
时 ，采 用 圆柱 坐标 系 较 为 方便 ，而采 用 Ansoft有 限
元分 析软件 对单级感 应线 圈炮 内的磁 场及 涡流场进
行三维仿 真时 ，通 常采 用 直 角 坐标 系 进 行描 述 。 因
此 ，为 了便于说 明问题 ，本 文在 图 1中既给 出了单级
实心 电枢 同步 感应 线 圈炮 的结 构及 仿 真 模 型 ，又 给
出了圆柱坐标 系与 直 角 坐标 系 之 间 的对 应关 系 ，分
别见 图 1(a)、(b)和 (c)。图 1(a)给 出 了单 级感 应线
圈炮在 rz平 面或 z平 面上 的截 面结 构 ，并将 其分
为不 同的 区域 ，其 中区域 Q。、Q 、Q。分别 代 表 驱 动
线圈外 围的套 箍 、驱 动线 圈和炮 管 ，区域 Q 和 Q 分
别代表 电枢 和气隙 。
2 磁 场及涡 流场 的数 学模 型
为 了便 于建立单 级实 心电枢 同步感 应线 圈炮 内
磁 场及 涡流场 的数学 模型 ，现假定 如下 ：
1)假定感 应线 圈炮工作 在准 稳态情 况下 。
2)不考虑 电枢 的横 向偏 移 ，假 定 电枢轴线 中心 、
炮管 中心 以及 驱动线 圈 中心重合 ，满足 轴对称 条件 。
这主要 是 因为 电枢 中心 偏 离 炮 管 和 驱 动 线 圈 中心
时 ，会 改变 电枢与炮 管之 间的气 隙分布 ，从而不 再满
足轴 对称条件 。
3)不考 虑 电枢 在 电磁 力作 用下 的形 变 。
在上 述假 定 条件 下 ，单 级实 心 电枢 同步感 应 线
圈炮 内磁场 及涡流 场的控 制方 程可 由麦 克斯 韦方程
M(r，0，z)
图 1 单 级 实 心 电枢 同步 感 应 线 圈炮 的 结 构及 仿 真 模 型
Fig．1 Structure and sim ulation m odelofthe single-stage
solid arm ature induction coil-gun
导 出。考虑 到 电枢 运 动 效应 和 位 移 电流 效应 ，麦 克
斯 韦方程 变 为
× H = J+ aD／at； (1)
X E 一一 aB／at+ X (_I，× B)； (2)
· B 一 0； (3)
· D — P。 (4)
式 中， 、H、E、D、J、|0和 _I，分别 为感 应线 圈炮 内的磁
感应强度 、磁 场强度 、电场 强度 、电位移矢量 、电流密
度 、电荷 密度 和 电枢 的运动 速度 。方程 (2)右边 的第
2项表 征 了电枢 的 运 动效 应 ，若 所采 用 的 坐标 系 固
定在 电枢上并 与 电枢 一起 运 动 ，则 对 于 电枢 区域 而
言该项为 0。
图 1中 ，导 体 区 域 Q 和 Q 因载 有 电流 而 应 采
用矢量磁 位求 解 ，其 他 区域原 则 上 可采 用 标量 磁 位
求 解 ，但 由于标 量磁 位 在 多连 通 区域 中不 是单 值 函
数 ，所 以需对 多连通 区域进 行处理 。为此 ，将非 导体
区域进 一 步 分 为套 箍 区域 Q。、炮 管 区域 Q。和气 隙
区域 Q ，在 区域 Q 和 仍 采 用矢 量磁 位求 解 ，仅
在区域 Q 采用标量 磁位求 解 。
对 麦 克斯 韦方 程 的求 解 ，通 常还 需结 合 电流 的
连续性 方程 、介 质 的本构方 程 以及 欧姆定律 ，即
· J 一 0； (5)
B 一 ； (6)
D — eE ； (7)
J — aE 。 (8)
’ 式 中， e、 分 别 为 介 质 的磁 导 率 、介 电常 数 、电导
率 。引人矢量磁 位 A(其 中 — XA)后 由式 (2)得 ：
X (E+ j以 一 (_I，X XA))一 0。 (9)
根据 任 一 标量 函数 梯度 的旋 度恒 为 0，所 以对
式(9)引人标量 电位 后 可得 ：
E一一j + (_I，× ×A)一 。 (10)
式 中 ，cc，为磁 场 变 化 的角频 率 。将 式 (6)、(7)、(8)、
(10)及 — ×A 代人式 (1)可 得 ：
x ( xA)= ( + j ￡)(一 j A+( X X A)一 )。
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High Voltage Engineering Vo1．34 No．3
上式 即为感应 线圈炮 内磁 场及 涡 流 场 的控 制方 程 。
由上式 可见 ，电导率为 复 电导率 ，可表示 为 仃 — +
j雠 。一 为 源 电流 密度 ，一j 为 由磁 场 变 化
而在导 体 区域 引起 的涡流密度 ，(v× ×A)为 由电
枢运动 而在导体 区域 引起 的涡 流密度 ，j e(-j +
(vx ×A)一 )可理解 为位移 电流密 度 。
由于不存在 源 电流 密度 ，所 以 电枢 区域 Q 内涡
流场 的控制方 程为
一 × ( XA)一 ( + j e)(- j A + ( × XA))。 (11)
由于 驱动 线 圈 固定 不 动且 其 内部 载有 源 电流 ，
所 以驱 动线圈 区域 Q 内涡流场 的控制方 程为
／1 × ( ×A)一 ( + j ￡)(一 j A— )。 (12)
由于炮 管 和套 箍均 由非导 体 的绝 缘材 料制 成 ，
且无源 电流存 在 、也不 运 动 ，所 以炮 管 区域 Q。和套
箍 区域 Q 内电磁 场 的控 制方程 为
／1一 × ( × A)一 0。 (13)
对 于气 隙区域 Q ，采 用标 量磁 位 ‰ (其 中 H：
一 ‰ )进行 求解 ，则利 用 方 程 (3)和 (6)可导 出 区
域 Q 内磁场 的控制 方程 ：
一 0。 (14)
实 际求解 时 ，由于 控制方程 多为矢 量方程 ，所 以
对这些 方程 的求 解是很 困难 的。但考虑 到感应 线 圈
炮为轴对 称结构 ，若 采 用 图 1(b)的圆 柱坐 标 系 ，并
令线圈炮 的对称 轴与 圆柱 坐标 系 的 轴 重合 ，则 感
应线圈炮 中电流密度和矢 量磁 位仅有沿 圆周方 向上
的分量 ，因此可 根据轴对 称结构 的特点 对方程 (11)、
(12)、(13)进行 简 化 。若 已知某 一 位置 时 刻 电枢 的
速度 ，则 可根据 以上 各 区域 中磁 场 或 涡流 场 的 控制
方程 ，求 出该位置 时刻 矢 量磁 位 圆周方 向上 的分 量
A ，进而求 出感应线 圈炮 内的磁感 应强度
B 一 (一 r+ z)。 (15)
r d Z (，r
由方程 (15)可知 ，感应 线 圈炮 内 的磁场 只有径 向分
量和轴 向分 量 。根 据方程 (8)可求 出导 体区域 。特别
是 电枢 区域 内 的涡流分布 。
3 磁场 及涡流场 的有 限元分析
由于单级 实心 电枢 同步感应线 圈炮 为轴对 称结
构 ，所 以在其 仿真模 型 即图 1(a)中仅 给 出 了仿 真 模
型在 半个 z平 面 上 的情 况 。仿 真模 型 中有 关 主 要
顶点 的坐标采 用直 角坐标 表示 。套箍 、驱 动线圈 、炮
管 以及电枢 的左下 角和右上 角 的坐标 分别 为(0，61，
0)、(0，80，80)、(0，63，10)、(0，73，70)、(0，61，10)、
(0，63，70)、(0，52，50)和 (0，60，110)。 由这 些 坐标
关 系可知驱 动线 圈和 电枢 的 长度 为 60mm、驱 动线
圈径 向厚度 为 10mm、电枢 径 向厚 度 为 8mm、电枢
图 2 yz平 面 上 的磁 场 分 布
Fig．2 Distribution ofm agnetic field in yz—plane
，，(M A ·m。1
图 3 电枢 内的 涡 流 分 布
Fig．3 Eddydistribution in thearmature
与炮 管 内壁 之间 的气 隙为 1mm、炮 管壁 厚 为 2mm
等 。在 利用 Ansoft软 件对该模 型仿真 的过 程 中 ，分
别将 套箍 、驱动线 圈 、炮 管和 电枢 的材料 属性设 置为
环 氧一凯夫 拉尔 合成 纤维 、铜 、聚 四氟 乙烯 塑料和 铝 。
电枢 的尾部 端面 在 z=50的平面 上 。仿 真模 型中的
求解 区域为 长方体 ，其 左 下 角 和右 上角 的顶点 坐 标
为 (一160，一160，一100)和 (160，160，240)。驱 动线 圈内的
源 电流设置为量值 型 ，其 总电流的大小为 30kA，相位
角为 0，频 率为 1．5kHz。仿真结果分别见 图 2～5。
图 2为 电枢处 于 z一50的位 置 时 j，z平 面上 的
磁场分 布 ，可 见在 电枢 尾 部 磁场 发 生 明显 畸 变而 弯
曲 ，且未 能扩 散 到 电枢 内部 。这 就 意味 着 电枢 尾 部
要感应 环状 涡流 ，该 涡流 排斥磁通 进入 电枢 内部 。
图 3为 电枢处 于 z：==50的位 置时 电枢 内的涡流
分布 ，可见 电枢 内的涡流 主要集 中在 电枢 尾部 ，从 电
枢尾部 到 电枢 前端 以及从 电枢外 表面到 电枢 内表 面
感生 的涡流均 逐渐 变小 。电枢尾部 因感应 涡流较 大
而将承 受很大 的 电磁 力作用 。为 了保 持 电枢在工 作
过 程 中不发生形 变 ，在 电枢 设 计 时应 加 厚 电枢 尾 部
的径 向厚度或在 电枢 内部设计 内支撑 结构 。
图 4、5分 别为 2—50平 面上驱 动线 圈和 电枢 内
电流密度 矢量 的分 布 。 比较 图 4、5可见 ，电枢 内 的
电流密 度方 向与驱 动线 圈 内 的相 反 ，电枢 内 的电流
8 8 9 O O 1 2 2 3 2 9¨3
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2008年 3月 高 电 压 技 术 第 34卷 第 3期 ·495 ·
，／(MA ·m 1
|
66．196
6O．213
54．231
48．248
42．266
36．283
30．301
24．3l8
18-336
12．353
6．3708
O．38836
图 4 驱 动 线 圈 内的 电 流 密 度
Fig．4 Currentdensity ofdriving-coil
，／(MA ·m。1
386-82
351．83
316-85
281．86
246．88
2l1．90
176．91
141．93
1O6．94
71．960
36．976
I．9917
图 5 电枢 内的 涡流 密 度
Fig．5 Eddy density ofthearm ature
密度 比驱动线 圈 内 的大一 个 数 量级 ，且驱 动 线 圈 内
的 电流 密度与 仿真 时所 加载 的源 电流密 度 (50MA／
ITI)大致 相 当。这说 明 在感 应 线 圈炮 内 ，驱 动 线 圈
内的感 应 电流 可忽 略不计 。
4 结 论
本 文基 于单级 实心 电枢同步 感应线 圈炮 的结 构
模型 ，建 立 了其 相应 的磁场 及涡 流场 的数 学模 型 ，其
突 出的特点在 于 ：① 它 是 基 于矢 量 磁 位和 标 量 电 位
相结合 的方法 建立起 来 的 ；②在 电枢 区域 ，它 考虑 了
电枢 的运动效 应和 位移 电流 效应 的影 响 ；③ 在驱 动
线圈 区域 ，它考 虑 了 位移 电流 效应 的影 响 。这些 特
点真实 地反 映了单级 实心 电枢 同步感应 线 圈炮 的实
际工作 状况 。仿真结 果表 明 ：在该 仿真模 型 中 ，当电
枢处 于 一50的位 置 时 ，该感 应 线 圈炮 内 的磁场 在
电枢尾 部发 生明显 畸 变 ，感应 涡 流 主 要集 中在 电 枢
的尾部 和外 表 面 ，其 方 向 与 驱 动 电 流 的方 向相 反 。
这些仿 真工作 体现 了感应线 圈炮 实际工 作过 程 中磁
场 、涡 流场 以及能量 损耗 的分布 规律 ，为感应 线圈炮
的进一 步优化 设计提 供 了参 考依 据 。
参 考 文 献
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