本文为《中国业余火箭教程》测试版中最先完成的一部分，用于为编者提供编写样例，以及为读者提供测试版阅读

本章作者为bh，王者归来，暂时不得转载





B 火箭发动机

第二章 喷管理论与设计 【高级难度水平教程部分】


在几乎所有爱好者所使用的火箭发动机上，喷管都是一个结构简单确有极为重要的组成部分，喷管的设计是否切合实际，实际测试中喷管十分又表现得如理论上所预期的那样，均影响着整个火箭发动机的推荐效率甚至是安全。所以，对于高水平的火箭爱好者来说，认真学习喷管理论对设计是非常有帮助的，毕竟目前所有的发动机内弹道模拟软件都不能有效地对个体发动机的喷管部分进行准确模拟。本教程着重介绍最常用的收敛-扩张喷管（又名拉瓦尔喷管或者CD喷管）的形状设计，若想更多得了解工艺和隔热方面的知识，请参考A部分第7章【结构】与C部分第4章【冷却与隔热】。


喷管的主要功能在于将发动机燃烧室内的高温高压却几乎没什么速度的燃烧产物，导向并加速喷出发动机，使其射流超过音速，从而获得推力或者说提供冲量。目前在火箭发动机中最常使用的喷管为收敛-扩张喷管（convergent-divergent nozzle），由于其是在19世纪时由瑞典工程师古斯塔夫·德·拉瓦尔（Gustaf de Laval）首次发明并应用于蒸汽轮机上，此喷管又被成为拉瓦尔喷管（de Laval Nozzle）。收敛-扩张喷管结构极为简单，却在气流的加速上十分具有效率，从戈达德时代便应用在讲求重量轻、结构简单、射流加速能力强的火箭发动机上。此后，人们在收敛-扩张喷管的基础上根据不用需求又研制出了大量改进版和魔改版喷管，诸如[1]：

膨胀-偏转喷管（expansion-deflection
nozzle）
塞式喷管（plug nozzle）
气动针式喷管（aerospike）
单一扩张坡道喷管（SERN）

因为篇幅关系，本文不便介绍，中文资料也较少，您若是感兴趣，可以搜索英文名称做进一步了解。


顾名思义，收敛-扩张喷管通过改变其截面积来起到对物质（多半是气体）的加速作用的。如图 B2-1，这里展示的是喷管的结构示意图，在收敛段的最初的位置，喷管拥有较大的截面积，随着流向逐渐减少，在一处达到截面积最小，这里被称为喷喉（Throat），然后再逐渐扩大，直到到达出口。值得注意的是，燃烧室内的压力和温度分别用字母P[sub]C[/sub]和T[sub]C[/sub]来表示，而后部压力（Ambient Pressure），也就是一般我们所指的大气压力则由P[sub]b[/sub]来表示。[td=1,1,6]

[/table] 图 B2-1 收敛-扩张喷管结构示意图

在对喷管进行数值分析前，我必须介绍一下相关的流体力学基础知识。在本教程中，我们把物质在喷管中的流动称为“静态的，理想气体的法向一维可压流动”，这个乍一听起来十分令人困惑的短语其实是为我们的分析提供了几个基本的假设，因为在事实上，情况可能有所差别。比如并不存在理想气体，比如喷管中不光流动着气体，还有燃烧产生的颗粒与液滴，再比如气体不可能只是沿着轴线做一维流动。若要考虑这些问题，我们的分析会变得复杂许多，远远超出了本教程的难度限制和教程编写人的能力，所以在这里我们暂且不讨论。

这几个基本的假设[2]是：

1.      流体的流动是恒定的，并且在燃烧中不随时间变化

2.      流体的流动方向仅仅考虑法向流动，即沿着图 B2-1中的蓝色箭头指引的方向直线流动

3.      流体是可压的。所谓可压指的是流体的密度可以发生显著变化，通常来说，“可压”的概念被应用于高速流动（一般是超音速）的气体，而低速气流不可压。

4.      这里指的流体是指理想气体，关于理想气体，这个一般初高中物理中都有涉及，便不再赘述，不知道的可以百度….

http://baike.baidu.com/link?url= ... zDMW8nfKqLZ4T8NDDuq

好了，有了这4个假设，我们便可以深入探讨一下喷管中最重要的几个变量的关系，我们的关注点在温度（Temperature，T）、压力（Pressure，P）以及最最重要的，流速（Velocity，V）。那么显然这三个量会随着喷管截面积的改变而改变，此外还受到了流动阻力和喷管内的热损失的影响。但是，聪明的你 (2333)一定知道….以我的尿性，是不会跟你谈后两个的，我们只考虑喷管截面积的改变对这三个量的改变。所以…我又要抛出一个假设，即在喷管中流动时，气体既没有热量的损失（即绝热过程 Adiabatic），也没有受到阻力（Frictionless），那么符合我这种假设的流动，被称为等熵流动（Isentropic Flow）。纵使这是一个为了方便计算的假设，但同时也是我们在设计喷管的时候所追求的目标，因为等熵流动时，流体与外界没有热交换，也没有阻力耗散，这样才能保证出口处能量最大化，来保证推力。关于阻力的减小，在后文我们会详细探讨。

接下来最关键的问题便是速度与众多乱七八糟的量的关系方程推导，也就是一般人最憎恨的部分。憎恨归憎恨，该做的还是要做，如果你实在提不起兴趣，可以略过这一段直接看末端表达式2-11。

关于此处流体性质描述方程的推导有很多种方法，各种国内外专业或非专业的教材中都有所涉及，但从根本上都离不开以下三个基本定理：一是能量守恒，二是动量守恒（或者是质量守恒），三就是大家高中一定会学的理想气体方程。推导的方式的异同和难易差别主要体现在前两个守恒方程的表达上。

图 B2-2 喷管推导模型

质量守恒，根据定义，就是说任意一处截面的质量流量都与喷管输入口的质量流量所相当，也就是说我们要找到一个表达式来表达这个等式。如图 B2-2，我们先设定喷出喷管的这个流向为正流量，即图中向量file:///C:/Users/BILLHU~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.png的正方向，那么我们可以通过求一小块与流向垂直的平面来找到质量流量，即图中红色所指。速度u乘以向量方向 file:///C:/Users/BILLHU~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.png 即为注入喷管的流体在我们这个坐标系下的速度向量，原本为正的速度u因为我们对正方向的定义而变为了绝对值相等的负数-u。通过再通过乘以密度得到垂直于边界的质量流量，再对边界进行积分，我们便可得到净输入质量流量，式2-1:                                  （2-1） 而在喷管中的质量随着时间的变化量为：     (2-2) 2-1和2-2在质量守恒的条件下是相等的，便可得到：                           （2-3） 用同样的分析方法，我们可以寻找到动量守恒的方程，即动量增加率=净输入动量+体积力+表面力，很容易看出每单位体积的动量为file:///C:/Users/BILLHU~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image014.png，而在控制体积内的动量为前者的积分，省略推导，可以得到动量关系式为：

(2-4) 最后是能量的关系式：动能和内能的变化率=净输入的内能与动能+热量的变化率+做功    (2-5) 通过2-3，2-4和2-5这三个方程，可以反过来印证我们在前文做出的假设，即在热力学中的熵s为常量。                                       (2-6)                                    (2-7)                                       (2-8) 这里的γ（有的地方使用字母k来表示）是指比热比（ratio of specific heats）又被称为绝热指数（adiabatic index），它被定义为等压热容和等容热容的比值，定义式为：                                            (2-9) 其中，C[sub]P[/sub] 是等压热容，C[sub]V[/sub]是等容热容，R’则是一个气体常量，为8.314J/mol-K，M是有效分子质量，和燃料种类有关。当燃料燃烧产生的物质中含有相当浓度的固体颗粒，M这个值就应当被有效考虑。在C部分第三章《固体推进剂计算》中，我们会详细讨论这部分内容。通常来说，在两相流动中，比热比需要被慎重考虑。 而这里的M指的是马赫数（Mach number），其定义式为流速与本地音速之比，其本身是一个无单位量。而对于理想气体而言，音速也可以写成表达式，综上：                                                  (2-10) 2-6式是在绝热流动下实现，2-7、2-8均为等熵流动下实现。我们为了后续的推导，将这三个常数分别定义为 T[sub]0[/sub]，P[sub]0[/sub]，和ρ[sub]0[/sub] ，并为这三个式子稍加变形，写成三个变量与常数之比的形式，我们便得到了最终的结论式，也被称为驻点性质（Stagnation properties）：                                             (2-11) 通过这样的关系式，我们可以知道，在比热比已知的情况下，三个比值和流体马赫数的关系，很容易便可以通过计算器进行求解。而有时我们需要知道在0-1整个区间内，马赫数的关系，可以很容易用MATLAB作图，请参见图B2-3。值得特别指出的是，此图所用的2-11式代表的模型在低亚音速流动中不可靠，所以重点在于M大于等于1时。

图 B2-3 等熵流动的性质，这里γ取的是1.4 除了用计算器求解外，也可以通过查阅NACA1135[3] 表来快速获得马赫数在0-100之间的任意数据，在21页开始直至39页的数据表中，详细列出了所有在比热比为1.4时马赫数与三个主要驻点性质的关系，图B2-4即为此表的一部分。

图 B2-4 [table=100%,white]美国国家航空咨询委员会

（

NACA

）

1135

报告

表

2

在我们一开始进行能量守恒的公式推导的时候，我们就注意到了喷管流动中的截面流量和输入质量流量保持一致的性质，那么我们在此来审视一下这个表达式。我们可以把2-1的闭环路径积分限定在整个喷管截面内，这样，根据格林定理（Green's
theorem），我们可以把这个路径积分转换为在喷管横截面上的重积分:

                            
   (2-12)

既然我们知道输入时的ρAv是一个常数，那么根据我们的性质，任何一个截面积上的ρAv都应当和这个常数相等。故我们引入一个定义，关键面积（Critical Area）用A*来表示，其定义为流体流动马赫数为1的那个截面。故有：

                               
            (2-13)

然后就变得有趣起来，只要把2-13式带入2-10和2-11中，不难得出以下表达式：

                                               (2-14)

只需要随便取一个γ值，这里采用1.4，用MATLAB作图，面积比和马赫数的关系，收敛-扩张喷管的关键性质便会呈现在你的眼前！如图B2-5：

图 B2-5
A/A*与马赫数的关系

在这张神图上我们可以看到，在亚音速段，流体速度随着截面面积的减小而增加，在马赫数与1处，正好是关键面积！在此点上，速度的增加率为0。然而越过此点，流体进入超音速阶段则正好相反，随着截面面积的增大，速度也同时在增加，只不过这里的增速可能要慢一些。这便是收敛-扩张喷管最重要的性质。从这幅图上我们也可以看出，理论上来说，超音速的射流只有可能在扩张段获得，单一的收敛或是直喷都无法达到效果。

---

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Rocket_engine_nozzle
[2] http://www.nakka-rocketry.net/forindex
[3] https://www.grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/Images/naca1135.pdf

王者出品必赞！尽管帖子才写了一些，很容易就可以看出完全版是多么强大！

非常棒的教材

好！

感谢范例～编写的时候必须参考一波格式

好是好的但对我来说看不懂哇

GJ

建议：去掉积分，仅引入焓和动量的转化和基本的流量概念，少带或不带S和d的式子会有更好的普适性。比如西北工业大学出版的那本基础和G.P.Sutton的Elements中的叙述，完全可以教会初中生基本喷管理论和使他意识到拉瓦尔喷管的必要性。

[quote=Ender,960]建议：去掉积分，仅引入焓和动量的转化和基本的流量概念，少带或不带S和d的式子会有更好的普适性。比如西北工业大学出版的那本基础和G.P.Sutton的Elements中的叙述，完全可以教会初中生基本喷管理论和使他意识到拉瓦尔喷管的必要性。[/quote] 第二部分的前半段就是这部分内容，积分本身的意义不可以替代，作为定义式而已，我并没有展开来讲

[quote=bh，王者归来,964]第二部分的前半段就是这部分内容，积分本身的意义不可以替代，作为定义式而已，我并没有展开来讲[/quote] gotcha